Volumen berechnen: alle Formeln auf einen Blick
Das Volumen (der Rauminhalt) eines Körpers gibt an, wie viel Raum er einnimmt; es wird in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³ gemessen. Für Körper mit gleichbleibendem Querschnitt (Würfel, Quader, Prisma, Zylinder) gilt Grundfläche mal Höhe, für Körper mit Spitze (Kegel, Pyramide) ein Drittel davon. Diese Formeln stehen in der Formelsammlung für das Abitur und gehören zu den Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss.[1][2]
| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Würfel | V = a3 | O = 6 · a2 |
| Quader | V = a · b · c | O = 2 · (ab + ac + bc) |
| Prisma | V = G · h | O = 2 · G + Mantel |
| Zylinder | V = π · r2 · h | O = 2πr2 + 2πrh |
| Pyramide | V = 13 · G · h | O = G + Seitenflächen |
| Kegel | V = 13 · π · r2 · h | O = πr2 + πrs |
| Kugel | V = 43 · π · r3 | O = 4 · π · r2 |
G steht für die Grundfläche, s für die Mantellinie des Kegels. Den Zylinder mit Rohr, Liter-Umrechnung und Füllstand eines liegenden Tanks rechnet der Zylinder-Rechner. Wie groß die Grundfläche eines Kreises ist, zeigt Kreisfläche berechnen.
Einheiten: cm³, Liter und m³ umrechnen
Zwischen zwei benachbarten Volumeneinheiten liegt immer der Faktor 1.000, weil jede Länge dreifach in das Volumen eingeht (10 · 10 · 10). Ein Liter ist genau ein Kubikdezimeter; das Liter ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit für das Volumen.[3]
| Einheit | entspricht | Beispiel |
|---|---|---|
| 1 m³ | 1.000 dm³ = 1.000 Liter | ein Würfel mit 1 m Kantenlänge |
| 1 dm³ | 1 Liter = 1.000 cm³ | ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge |
| 1 cm³ | 1 Milliliter = 1.000 mm³ | ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge |
| 1 hl (Hektoliter) | 100 Liter = 0,1 m³ |
Das Ergebnis des Rechners steht deshalb immer in drei Formen da: in der Einheit Ihrer Eingabe, in Litern und in Kubikmetern. Für größere Mengen wie Erde, Kies oder Beton ist der Kubikmeter-Rechner gedacht, der auch gemischte Einheiten wie Meter und Zentimeter verarbeitet.
Warum Kegel und Pyramide ein Drittel haben
Ein Kegel hat genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe; eine Pyramide entsprechend ein Drittel des Prismas. Grund ist, dass der Querschnitt zur Spitze hin quadratisch mit der Höhe abnimmt. Füllt man einen Kegel dreimal mit Wasser und gießt es in den passenden Zylinder, ist dieser voll.
Bei der Kugel steht die Zahl 4/3 vor π · r³. Eine Kugel füllt damit zwei Drittel des kleinsten Zylinders, in den sie passt (Durchmesser und Höhe gleich 2r): 4/3 · π · r³ geteilt durch π · r² · 2r ergibt 2/3.
Beispiele mit Lösung
Aquarium: 80 cm lang, 35 cm breit, 40 cm hoch
Quader: 80 · 35 · 40 = 112.000 cm³. Durch 1.000 geteilt sind das 112 Liter, wenn das Becken bis zum Rand gefüllt ist.
Ball mit 22 cm Durchmesser
Radius = 11 cm. 4/3 · π · 11³ = 4/3 · π · 1.331 = 5.575,28 cm³, also rund 5,58 Liter Luft.
Sandhaufen als Kegel: Radius 1 m, Höhe 0,8 m
1/3 · π · 1² · 0,8 = 0,838 m³. Das ist weniger als ein Kubikmeter, obwohl der Haufen 2 m breit ist.
Dachraum als Prisma: Giebel 8 m breit und 3 m hoch, 10 m lang
Dreiecksfläche 8 · 3 / 2 = 12 m², mal 10 m Länge ergibt 120 m³ umbauten Raum.
Typische Fehler beim Volumen berechnen
- Einheiten mischen. Alle Maße müssen in derselben Einheit stehen. 2 m · 50 cm · 30 cm ergibt nicht 3.000; erst in Meter umrechnen: 2 · 0,5 · 0,3 = 0,3 m³.
- Durchmesser statt Radius. In den Formeln für Kugel, Kegel und Zylinder steht der Radius. Wer den Durchmesser einsetzt, erhält bei der Kugel das Achtfache.
- Das Drittel vergessen. Kegel und Pyramide haben nur ein Drittel des Volumens von Zylinder und Prisma.
- Mit 100 statt 1.000 umrechnen. 1 Liter sind 1.000 cm³, nicht 100. Der Faktor 100 gilt nur bei Flächen (1 dm² = 100 cm²), wie beim Quadratmeter berechnen.
- Schräge Höhe verwenden. Die Höhe h steht senkrecht auf der Grundfläche. Die schräge Seitenkante eines Kegels ist die Mantellinie s und gehört nur in die Oberfläche.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Volumen?
Mit der Formel des Körpers: Quader Länge · Breite · Höhe, Würfel a³, Zylinder π · r² · h, Kugel 4/3 · π · r³, Kegel und Pyramide ein Drittel von Grundfläche · Höhe. Alle Maße müssen dieselbe Einheit haben.
Wie rechne ich cm³ in Liter um?
Teilen Sie durch 1.000. 1.000 cm³ sind 1 Liter, 2.500 cm³ sind 2,5 Liter. Umgekehrt multiplizieren Sie Liter mit 1.000, um cm³ zu erhalten.
Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?
V = 4/3 · π · r³. Bei einem Radius von 5 cm sind das 4/3 · π · 125 ≈ 523,6 cm³. Kennen Sie den Durchmesser, halbieren Sie ihn zuerst.
Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?
V = 1/3 · π · r² · h. Ein Kegel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe hat 1/3 · π · 9 · 4 = 12π ≈ 37,7 cm³.
Was ist der Unterschied zwischen Volumen und Oberfläche?
Das Volumen misst den Rauminhalt in Kubikeinheiten (cm³, m³), die Oberfläche die Summe aller Außenflächen in Quadrateinheiten (cm², m²). Ein Würfel mit 2 cm Kante hat 8 cm³ Volumen und 24 cm² Oberfläche.