Zylinder Volumen: die Formel
Das Volumen eines Zylinders ist Grundfläche mal Höhe; die Grundfläche ist ein Kreis mit der Fläche π · r². Daraus folgt V = π · r² · h. Mantel und Oberfläche ergeben sich aus dem abgerollten Rechteck mit der Länge 2 · π · r und der Höhe h.[1]
| Größe | Formel | Topf Ø 20 cm, h 15 cm |
|---|---|---|
| Grundfläche | G = π · r2 | 314,16 cm² |
| Volumen | V = π · r2 · h | 4.712,39 cm³ = 4,712 l |
| Mantelfläche | M = 2 · π · r · h | 942,48 cm² |
| Oberfläche | O = 2 · G + M | 1.570,8 cm² |
Wie die Kreisfläche selbst zustande kommt, erklärt Kreisfläche berechnen. Für Würfel, Quader, Kugel, Kegel und Pyramide gibt es den Rechner Volumen berechnen.
Zylinder in Liter umrechnen
Rechnen Sie in Zentimetern, teilen Sie das Ergebnis durch 1.000, um Liter zu erhalten; in Dezimetern ist das Ergebnis direkt in Litern, weil 1 dm³ genau 1 Liter ist.[3] Die Tabelle zeigt, wie viel in typische zylindrische Gefäße passt, bis zum Rand gefüllt:
| Durchmesser | Höhe | Volumen |
|---|---|---|
| 10 cm | 10 cm | 0,79 Liter |
| 20 cm | 15 cm | 4,71 Liter |
| 30 cm | 30 cm | 21,2 Liter |
| 40 cm | 60 cm | 75,4 Liter |
| 60 cm | 90 cm | 254,5 Liter |
| 100 cm | 100 cm | 785,4 Liter |
Auffällig: Doppelter Durchmesser bedeutet vierfaches Volumen, weil der Radius im Quadrat eingeht. Eine Regentonne mit 60 cm Durchmesser und 90 cm Höhe fasst 254 Liter.
Hohlzylinder: Volumen eines Rohrs
Beim Rohr ziehen Sie das innere Volumen vom äußeren ab: V = π/4 · (D² − d²) · Länge, mit dem Außendurchmesser D und dem Innendurchmesser d. Das ergibt die Menge des Wandmaterials. Wie viel Wasser in das Rohr passt, ist dagegen das Innenvolumen π/4 · d² · Länge.
Beispiel: Ein Rohr mit 110 mm Außen- und 101,6 mm Innendurchmesser hat auf 1 m Länge 1,396 Liter Wandmaterial, fasst aber 8,11 Liter Wasser. Die Wandstärke ist (110 − 101,6) / 2 = 4,2 mm.
Höhe aus dem Volumen berechnen
Ist das Volumen vorgegeben, stellen Sie die Formel nach der Höhe um: h = V / (π · r²). Soll ein Gefäß mit 25 cm Durchmesser 10 Liter (10.000 cm³) fassen, braucht es mindestens 20,4 cm Höhe. Die Füllhöhe steigt bei einem stehenden Zylinder gleichmäßig mit dem Volumen: Jeder Zentimeter Höhe entspricht hier 0,491 Litern.
Liegender Zylinder: Füllmenge bei einer Füllhöhe
Bei einem liegenden Tank ist die Füllmenge nicht proportional zur Füllhöhe, weil der Querschnitt in der Mitte am breitesten ist. Die gefüllte Fläche ist ein Kreisabschnitt, und erst diese Fläche mal Tanklänge ergibt das Volumen:
Die folgende Peiltabelle gilt für jeden liegenden Zylinder mit ebenen Böden, unabhängig von seiner Größe. Sie zeigt, welcher Anteil des Volumens bei welcher Füllhöhe (in Prozent des Durchmessers) gefüllt ist:
| Füllhöhe (% des Durchmessers) | Füllgrad (% des Volumens) |
|---|---|
| 5 % | 1,9 % |
| 10 % | 5,2 % |
| 20 % | 14,2 % |
| 25 % | 19,6 % |
| 30 % | 25,2 % |
| 40 % | 37,4 % |
| 50 % | 50 % |
| 60 % | 62,6 % |
| 70 % | 74,8 % |
| 75 % | 80,4 % |
| 80 % | 85,8 % |
| 90 % | 94,8 % |
| 95 % | 98,1 % |
Beispiel: Ein Tank mit 1,5 m Durchmesser und 3 m Länge fasst 5.301 Liter. Steht die Flüssigkeit 0,6 m hoch (40 % des Durchmessers), sind 1.980 Liter darin, das sind 37,4 % und nicht 40 %. Gewölbte Böden von Heizöltanks sind in der Formel nicht enthalten; für sie gilt die Peiltabelle des Herstellers.
Beispiele mit Lösung
Regentonne: 60 cm Durchmesser, 90 cm hoch
r = 30 cm. π · 30² · 90 = π · 81.000 = 254.469 cm³ = 254,5 Liter.
Dose: Radius 4 cm, Höhe 11 cm, wie viel Blech?
Oberfläche = 2 · π · 4² + 2 · π · 4 · 11 = 32π + 88π = 120π ≈ 377 cm².
Säule im Garten: Ø 30 cm, 2 m hoch, aus Beton
In Meter: r = 0,15 m. π · 0,15² · 2 = 0,141 m³ Beton. Größere Mengen rechnet der Kubikmeter-Rechner.
Typische Fehler beim Zylinder
- Durchmesser statt Radius quadrieren. π · 20² · 15 statt π · 10² · 15 ergibt das Vierfache. Mit dem Durchmesser lautet die Formel π/4 · d² · h.
- Einheiten mischen. Radius in cm und Höhe in m ergibt Unsinn. Erst alle Maße in dieselbe Einheit bringen.
- Durch 100 statt 1.000 teilen. cm³ in Liter: durch 1.000.
- Füllhöhe beim liegenden Tank linear rechnen. Halbe Höhe heißt halb voll, aber 20 % Höhe sind nur 14,2 % des Volumens.
- Mantel und Oberfläche verwechseln. Der Mantel ist nur die gebogene Seitenfläche; die Oberfläche enthält Boden und Deckel.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?
V = π · r² · h. Quadrieren Sie den Radius, multiplizieren Sie mit π und mit der Höhe. Bei r = 5 cm und h = 10 cm: π · 25 · 10 ≈ 785,4 cm³.
Wie viel Liter passen in einen Zylinder?
Rechnen Sie das Volumen in cm³ aus und teilen Sie durch 1.000. Ein Zylinder mit 20 cm Durchmesser und 15 cm Höhe hat 4.712 cm³, also gut 4,7 Liter.
Wie berechne ich die Oberfläche eines Zylinders?
O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h: zwei Kreise (Boden und Deckel) plus der Mantel. Bei r = 4 cm und h = 11 cm sind das 120π ≈ 377 cm².
Wie berechnet man das Volumen eines Rohres?
V = π/4 · (D² − d²) · Länge mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d. Das ist das Material. Die Füllmenge ist π/4 · d² · Länge.
Wie viel ist in einem liegenden Tank bei halber Füllhöhe?
Genau die Hälfte. Bei allen anderen Füllhöhen weicht der Anteil ab: 25 % der Höhe entsprechen nur etwa 19,6 % des Volumens, 75 % der Höhe etwa 80,4 %.