Die Zinseszinsformel
Beim Zinseszins werden die Zinsen am Ende jeder Periode gutgeschrieben und in der nächsten Periode mitverzinst. Das Kapital wächst deshalb nicht um denselben Betrag pro Jahr, sondern um denselben Faktor: Jedes Jahr wird es mit q = 1 + p/100 multipliziert. Solche Wachstumsprozesse sind Teil der Zinsrechnung in den Bildungsstandards Mathematik.[1]
10.000 € zu 5 % ergeben nach einem Jahr 10.500 €, nach zwei Jahren aber 11.025 €, denn im zweiten Jahr bringen auch die ersten 500 € Zinsen. Nach 10 Jahren sind es 10.000 · 1,0510 = 16.288,95 €; mit einfachen Zinsen ohne Gutschrift wären es nur 15.000 €.
| Zinssatz | nach 5 Jahren | nach 10 Jahren | nach 20 Jahren | nach 30 Jahren |
|---|---|---|---|---|
| 2 % | 11.040,81 € | 12.189,94 € | 14.859,47 € | 18.113,62 € |
| 3 % | 11.592,74 € | 13.439,16 € | 18.061,11 € | 24.272,62 € |
| 5 % | 12.762,82 € | 16.288,95 € | 26.532,98 € | 43.219,42 € |
| 7 % | 14.025,52 € | 19.671,51 € | 38.696,84 € | 76.122,55 € |
Monatliche Zinsgutschrift und effektiver Jahreszins
Werden die Zinsen öfter als einmal im Jahr gutgeschrieben, wächst das Kapital etwas schneller. Der Zinssatz wird dann durch die Zahl der Gutschriften geteilt und der Exponent mit ihr multipliziert. Der effektive Jahreszins zeigt, welchem Jahreszins mit jährlicher Gutschrift das entspricht.
| Zinsgutschrift | Formel | effektiver Jahreszins | Endkapital |
|---|---|---|---|
| jährlich | (1 + 0,05/1)10 | 5 % | 16.288,95 € |
| halbjährlich | (1 + 0,05/2)20 | 5,062 % | 16.386,16 € |
| vierteljährlich | (1 + 0,05/4)40 | 5,095 % | 16.436,19 € |
| monatlich | (1 + 0,05/12)120 | 5,116 % | 16.470,09 € |
Der Unterschied zwischen jährlicher und monatlicher Gutschrift ist bei üblichen Zinssätzen klein: hier 181,15 € in zehn Jahren.
Verdopplungszeit und 72-Regel
Ein Kapital verdoppelt sich nach n = ln 2 / ln q Jahren. Die 72-Regel teilt einfach 72 durch den Zinssatz und liegt für Zinssätze zwischen etwa 2 und 10 % nah am genauen Wert.
| Zinssatz | genaue Verdopplungszeit | 72-Regel |
|---|---|---|
| 1 % | 69,7 Jahre | 72 Jahre |
| 2 % | 35 Jahre | 36 Jahre |
| 3 % | 23,4 Jahre | 24 Jahre |
| 4 % | 17,7 Jahre | 18 Jahre |
| 5 % | 14,2 Jahre | 14,4 Jahre |
| 6 % | 11,9 Jahre | 12 Jahre |
| 8 % | 9 Jahre | 9 Jahre |
| 10 % | 7,3 Jahre | 7,2 Jahre |
Formel umstellen: Anfangskapital, Laufzeit, Zinssatz
| Gesucht | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Anfangskapital (Barwert) | K0 = Knqn | 50.000 € in 20 Jahren bei 3 %: 27.683,79 € heute |
| Laufzeit | n = ln(Kn / K0)ln q | Verdopplung bei 4 %: 17,67 Jahre |
| Zinssatz | p = ((Kn / K0)1/n − 1) · 100 | 5.000 € → 6.500 € in 8 Jahren: 3,33 % |
Zinseszins im deutschen Recht
Zwischen Privatleuten ist eine im Voraus getroffene Vereinbarung, dass fällige Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, nichtig. Banken und Sparkassen dürfen dagegen vereinbaren, dass nicht abgehobene Zinsen von Einlagen als neue verzinsliche Einlage gelten.[2] Genau das passiert auf Sparbuch, Tagesgeld- oder Festgeldkonto, wenn die Zinsen stehen bleiben. Welche Zinssätze dort zurzeit üblich sind, veröffentlicht die Bundesbank: im September 2026 durchschnittlich 2,39 % für Einlagen bis ein Jahr und 0,52 % für täglich fällige Einlagen.[3]
Beispiele mit Lösung
Einmalanlage: 25.000 € zu 3 % für 15 Jahre
25.000 · 1,0315 = 38.949,19 €, davon 13.949,19 € Zinsen.
Wann hat sich das Geld bei 4 % verdoppelt?
ln 2 / ln 1,04 = 17,67 Jahre; die 72-Regel schätzt 18 Jahre.
Welcher Zins steckt in einer Wertsteigerung?
Aus 5.000 € wurden in 8 Jahren 6.500 €: (6.500 / 5.000)1/8 − 1 = 3,33 % pro Jahr.
Typische Fehler
- Prozente addieren statt multiplizieren. 10 Jahre zu 5 % sind nicht 50 %, sondern 1,0510 − 1 = 62,9 % Zuwachs.
- Nominal- und Effektivzins verwechseln. Bei monatlicher Gutschrift ist der effektive Jahreszins höher als der genannte Zinssatz.
- Monate als Jahre eingeben. Die Laufzeit n zählt in Jahren; 18 Monate sind 1,5 Jahre.
- Steuern und Inflation vergessen. Zinsen über dem Sparer-Pauschbetrag von 1.000 € sind steuerpflichtig[4], und die Kaufkraft sinkt mit der Inflation.
Modellrechnung mit festem Zinssatz, vor Steuern und Kosten. Keine Anlageberatung: Wie sich Zinsen in Zukunft entwickeln, kann niemand vorhersagen.
Wer jeden Monat etwas dazu spart, nutzt den Sparrechner. Für Zinsen über wenige Monate oder Tage ohne Gutschrift gibt es Zinsen berechnen, und was das Endkapital nach Abzug der Teuerung wert ist, zeigt der Inflationsrechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man Zinseszins?
Endkapital = Anfangskapital · (1 + Zinssatz/100) hoch Anzahl der Jahre. 2.000 € zu 4 % über 5 Jahre: 2.000 · 1,045 = 2.433,31 €.
Wie viel sind 10.000 € in 10 Jahren mit Zinseszins?
Bei 3 % sind es 13.439,16 €, bei 5 % 16.288,95 € (jährliche Gutschrift, vor Steuern).
Was ist die 72-Regel?
Eine Faustformel für die Verdopplungszeit: 72 geteilt durch den Zinssatz. Bei 6 % verdoppelt sich ein Kapital nach etwa 12 Jahren; genau sind es 11,9 Jahre.
Was ist der Unterschied zwischen Zins und Zinseszins?
Einfache Zinsen werden nur auf das Anfangskapital berechnet. Beim Zinseszins werden auch die bereits gutgeschriebenen Zinsen verzinst, das Kapital wächst exponentiell.
Ist monatliche Verzinsung besser als jährliche?
Bei gleichem Nominalzins ja, aber nur wenig: 5 % mit monatlicher Gutschrift entsprechen einem effektiven Jahreszins von 5,116 %.
Quellen
- Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Ersten Schulabschluss (ESA) und den Mittleren Schulabschluss (MSA)
- Bürgerliches Gesetzbuch (BGB), § 248 Zinseszinsen
- MFI-Zinsstatistik (Bestände, Neugeschäft): Effektivzinssätze der Banken in Deutschland
- Einkommensteuergesetz (EStG), § 20 Kapitalvermögen (Abs. 9: Sparer-Pauschbetrag)