Formel für die Fläche eines Kreises
Die Fläche eines Kreises ist π mal Radius zum Quadrat: A = π · r2. Die Kreiszahl π ≈ 3,14159 ist für jeden Kreis gleich; sie ist eine unendliche, nicht periodische Dezimalzahl, darum ist jedes Ergebnis gerundet. Formel und Kreiszahl werden in der 8. Klasse eingeführt.[1]
Anschaulich: Zerschneidet man einen Kreis in viele schmale Tortenstücke und legt sie abwechselnd nebeneinander, entsteht fast ein Rechteck. Es ist einen halben Umfang lang (π · r) und einen Radius hoch, die Fläche also π · r · r = π · r2.
Kreisfläche aus Durchmesser oder Umfang berechnen
Ist der Durchmesser gegeben, halbieren Sie ihn zum Radius oder rechnen direkt mit A = π · d2 / 4. Ist der Umfang gegeben, folgt der Radius aus r = U / (2π), und die Fläche ist A = U2 / (4π).
| Gegeben | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Radius r | A = π · r² | r = 5 cm → A ≈ 78,54 cm² |
| Durchmesser d | A = π · d² / 4 | d = 30 cm → A ≈ 706,86 cm² |
| Umfang U | A = U² / (4π) | U = 10 m → A ≈ 7,96 m² |
Wenn Sie umgekehrt den Rand eines Kreises suchen, etwa für eine Einfassung oder einen Zaun, ist der Rechner für den Umfang eines Kreises die richtige Seite.
Radius aus der Fläche berechnen
Den Radius erhalten Sie, indem Sie die Fläche durch π teilen und die Wurzel ziehen: r = √Aπ. Ein kreisrundes Beet mit 1 m² Fläche hat einen Radius von √(1/π) ≈ 0,5642 m, also gut 1,13 m Durchmesser. Wählen Sie dafür im Rechner „Radius aus Fläche“.
Kreisring und Kreisausschnitt
Ein Kreisring ist ein großer Kreis ohne den kleinen Kreis in der Mitte: A = π · (R2 − r2). Ein Rohr mit 5 cm Außen- und 3 cm Innenradius hat eine Querschnittsfläche von π · (25 − 9) = π · 16 ≈ 50,27 cm². Achtung: Es ist nicht π · (5 − 3)².
Ein Kreisausschnitt (Kreissektor) ist das „Tortenstück“ mit dem Mittelpunktswinkel α. Seine Fläche ist der passende Anteil der ganzen Kreisfläche: A = π · r2 · α / 360°. Ein Viertelkreis mit 6 cm Radius hat π · 36 / 4 ≈ 28,27 cm².
Flächeneinheiten umrechnen
Flächeneinheiten unterscheiden sich um den Faktor 100, nicht 10, weil Länge mal Länge gerechnet wird: 1 cm = 10 mm, also 1 cm² = 10 mm · 10 mm = 100 mm². Der Rechner zeigt jedes Ergebnis zusätzlich in den anderen Einheiten; für Räume und Grundstücke gibt es den Quadratmeter-Rechner.
| Einheit | entspricht |
|---|---|
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 dm² | 100 cm² |
| 1 m² | 100 dm² = 10.000 cm² |
| 1 a (Ar) | 100 m² |
| 1 ha (Hektar) | 10.000 m² |
| 1 km² | 100 ha = 1.000.000 m² |
Beispiele aus dem Alltag
Eine große oder zwei kleine Pizzen?
Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser hat 706,9 cm². Zwei Pizzen mit 20 cm haben zusammen nur 2 · 314,2 = 628,3 cm², also rund 11 % weniger.
Rasenfläche für Saatgut
Ein runder Rasen mit 8 m Durchmesser: π · 8² / 4 = 50,27 m². Bei 25 g Saatgut pro m² braucht man gut 1,26 kg.
Tortenform: 26 cm statt 28 cm
Die Flächen verhalten sich wie die Quadrate der Durchmesser: 26² / 28² ≈ 0,862. Für die kleinere Form reichen also etwa 86 % des Teigs.
Die Kreisfläche ist auch die Grundfläche eines Zylinders: Mal Höhe ergibt sie sein Volumen, wie der Zylinder-Volumen-Rechner zeigt.
Typische Fehler beim Berechnen der Kreisfläche
- Durchmesser statt Radius eingesetzt. π · 30² für eine 30-cm-Pizza ergibt das Vierfache. Erst halbieren: π · 15².
- Erst π · r, dann quadriert. Nur der Radius wird quadriert: π · 5² = π · 25, nicht (π · 5)².
- Einheit falsch umgerechnet. 78,54 cm² sind 0,007854 m², nicht 0,7854 m².
- Doppelter Durchmesser, doppelte Fläche? Nein: Die Fläche wächst mit dem Quadrat, also auf das Vierfache.
Die Bildungsstandards verlangen, Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und daraus zusammengesetzten Figuren zu berechnen, auch mit digitalen Werkzeugen.[2]
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Fläche eines Kreises?
Mit A = π · r²: Radius mit sich selbst malnehmen und mit π ≈ 3,14159 multiplizieren. Bei 5 cm Radius sind das π · 25 ≈ 78,54 cm².
Wie berechne ich die Kreisfläche mit dem Durchmesser?
Mit A = π · d² / 4 oder indem Sie erst den Radius r = d / 2 bilden. Bei d = 30 cm: π · 900 / 4 ≈ 706,86 cm².
Wie berechnet man den Radius aus der Fläche?
Fläche durch π teilen und die Wurzel ziehen: r = √(A / π). Für 50 cm² ergibt sich r ≈ 3,99 cm.
Warum ist eine Pizza mit doppeltem Durchmesser viermal so groß?
Weil der Radius in der Formel quadriert wird. Doppelter Radius bedeutet 2² = 4-fache Fläche.
Mit welchem Wert für π soll ich rechnen?
Für Schulaufgaben meist mit der π-Taste oder 3,14. Der Rechner verwendet π mit voller Rechengenauigkeit und rundet erst das Ergebnis.