Dreisatz: So funktionieren die drei Sätze
Der Dreisatz schließt in drei Sätzen von einem bekannten Wertepaar auf ein neues: erst das Bekannte notieren, dann auf eine Einheit schließen, dann auf die gesuchte Menge. Er funktioniert immer dann, wenn zwei Größen in einem festen Verhältnis stehen. Im Lehrplan steht er ganz am Anfang der Sachaufgaben in Klasse 5.[1]
| Satz | Was passiert | Beispiel Äpfel |
|---|---|---|
| 1. Satz | Bekanntes Wertepaar aufschreiben | 3 kg ≙ 4,50 € |
| 2. Satz | Auf die Einheit schließen (teilen) | 1 kg ≙ 4,50 € : 3 = 1,50 € |
| 3. Satz | Auf die gesuchte Menge schließen (malnehmen) | 7 kg ≙ 1,50 € · 7 = 10,50 € |
Das Zeichen ≙ liest man „entspricht“. Es verbindet zwei Größen unterschiedlicher Art, etwa Kilogramm und Euro, die man nicht mit einem Gleichheitszeichen gleichsetzen kann. Wer die drei Sätze zusammenfasst, erhält die Formel des Dreisatzes:
Proportional oder antiproportional? So erkennen Sie die Zuordnung
Ob Sie im 2. Satz teilen oder malnehmen, hängt von der Zuordnung ab: Bei „je mehr, desto mehr“ ist sie proportional, bei „je mehr, desto weniger“ antiproportional (umgekehrt proportional). Proportionale Größen haben einen festen Quotienten, antiproportionale ein festes Produkt.[2]
| Proportional | Antiproportional | |
|---|---|---|
| Merksatz | je mehr, desto mehr | je mehr, desto weniger |
| Bleibt gleich | Quotient b : a | Produkt a · b |
| 2. Satz | durch die Menge teilen | mit der Menge malnehmen |
| 3. Satz | mit der neuen Menge malnehmen | durch die neue Menge teilen |
| Beispiel | Menge und Preis | Arbeiter und Arbeitstage |
Nicht jede Zuordnung ist eines von beiden. Taxikosten mit Grundgebühr wachsen zwar mit der Strecke, aber nicht proportional, weil die Grundgebühr fest ist. Dann liefert der Dreisatz ein falsches Ergebnis. Prüfen Sie im Zweifel, ob der doppelte Ausgangswert wirklich zum doppelten (oder halben) Ergebnis führt.
Umgekehrter Dreisatz (antiproportional)
Beim umgekehrten Dreisatz wird im 2. Satz multipliziert und im 3. Satz geteilt. Beispiel: 4 Arbeiter brauchen für eine Mauer 6 Tage. 1 Arbeiter bräuchte 4 · 6 = 24 Tage, 3 Arbeiter brauchen 24 : 3 = 8 Tage. Die Probe zeigt das gleichbleibende Produkt: 4 · 6 = 3 · 8 = 24 Arbeitstage.
Zusammengesetzter Dreisatz
Ändern sich zwei Größen gleichzeitig, rechnen Sie zwei einfache Dreisätze nacheinander und halten dabei jeweils die andere Größe fest. Beispiel: 3 Maschinen stellen in 4 Stunden 120 Teile her. Wie viele Teile schaffen 5 Maschinen in 6 Stunden?
- Maschinen ändern, Zeit festhalten (proportional): 120 · 5/3 = 200 Teile in 4 Stunden.
- Zeit ändern, Maschinen festhalten (proportional): 200 · 6/4 = 300 Teile.
Bei antiproportionalen Größen kehrt sich der Bruch um. Leeren 4 Pumpen bei 8 Betriebsstunden täglich ein Becken in 9 Tagen, brauchen 6 Pumpen bei 6 Stunden täglich 9 · 4/6 · 8/6 = 8 Tage: Mehr Pumpen verkürzen die Zeit, weniger Stunden pro Tag verlängern sie. Wählen Sie im Rechner „Zusammengesetzt“ und für jede Größe die passende Zuordnung.
Beispiele mit Lösung
Rezept umrechnen: 4 statt 6 Personen
Für 6 Personen braucht man 450 g Mehl. Proportional: 450 g : 6 = 75 g pro Person, für 4 Personen 75 g · 4 = 300 g.
Benzin für eine Strecke
Das Auto braucht 6,5 l auf 100 km. Für 420 km: 6,5 : 100 · 420 = 27,3 l. Was die Fahrt kostet, rechnet der Spritkosten-Rechner aus.
Vorrat: Futter für mehr Tiere
Ein Heuvorrat reicht für 6 Pferde 20 Tage. Für 8 Pferde (antiproportional): 6 · 20 = 120 Pferdetage, 120 : 8 = 15 Tage.
Prozent mit dem Dreisatz
Wie viel sind 19 % von 250 €? 100 % ≙ 250 €, 1 % ≙ 2,50 €, 19 % ≙ 47,50 €. Der Prozentrechner zeigt diesen Weg für jede Prozentaufgabe.
Dreisatz als Verhältnisgleichung
Für proportionale Größen lässt sich der Dreisatz auch als Verhältnisgleichung schreiben: x : 7 = 4,50 : 3. Über Kreuz multipliziert ergibt sich 3 · x = 4,50 · 7, also x = 10,50. Beide Wege sind gleichwertig; der Dreisatz macht nur den Zwischenschritt über die Einheit sichtbar. Wer lieber mit exakten Brüchen statt mit Dezimalzahlen rechnet, findet Hilfe beim Bruchrechner. Auch in der Geometrie steckt oft ein Dreisatz: 360° entsprechen dem ganzen Kreisumfang, ein Winkel von 90° also einem Viertel davon.
Typische Fehler beim Dreisatz
- Zuordnung nicht geprüft. Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit. Wer hier proportional rechnet, erhält 4,5 statt 8 Tage.
- Größen vertauscht. Rechts steht immer die gesuchte Größe. Steht im 1. Satz „4,50 € ≙ 3 kg“, sucht man Kilogramm, nicht Euro.
- Einheiten gemischt. 500 g und 2 kg gehören vor dem Rechnen in dieselbe Einheit.
- Zu früh gerundet. 10 € : 3 = 3,333… nicht schon auf 3,33 kürzen; erst das Endergebnis runden.
- Nicht-proportionale Kosten. Grundgebühren, Mengenrabatte oder Staffelpreise machen den Dreisatz unbrauchbar.
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen gehören zu den Kompetenzen, die die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für den Mittleren Schulabschluss beschreiben.[3]
Häufige Fragen
Wie geht der Dreisatz?
Schreiben Sie das bekannte Wertepaar auf (3 kg ≙ 4,50 €), schließen Sie auf eine Einheit (1 kg ≙ 1,50 €) und dann auf die gesuchte Menge (7 kg ≙ 10,50 €). Bei antiproportionalen Größen wird im zweiten Satz multipliziert und im dritten geteilt.
Wann ist ein Dreisatz antiproportional?
Wenn mehr von der einen Größe weniger von der anderen bedeutet und das Produkt beider gleich bleibt, etwa Arbeiter und Arbeitstage oder Geschwindigkeit und Fahrzeit.
Was ist ein zusammengesetzter Dreisatz?
Ein Dreisatz mit zwei sich ändernden Größen. Man löst ihn als zwei einfache Dreisätze hintereinander und multipliziert beide Faktoren, zum Beispiel 120 · 5/3 · 6/4 = 300.
Was bedeutet das Zeichen ≙?
Es heißt „entspricht“ und verbindet zwei Größen verschiedener Art, etwa Kilogramm und Euro, die nicht gleich sind, sich aber einander zuordnen lassen.
Kann man Prozentrechnung mit dem Dreisatz lösen?
Ja. 100 % entsprechen dem Grundwert, 1 % einem Hundertstel davon, und jeder Prozentsatz ist ein Vielfaches davon. Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz lassen sich alle so berechnen.
Quellen
- LehrplanPLUS Gymnasium Bayern, Fachlehrplan Mathematik, Jahrgangsstufe 5 (Sachaufgaben, Dreisatz)
- LehrplanPLUS Gymnasium Bayern, Fachlehrplan Mathematik, Jahrgangsstufe 8 (direkt und indirekt proportionale Größen, Kreis und Zylinder)
- Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Ersten Schulabschluss (ESA) und den Mittleren Schulabschluss (MSA)