Formel für den Kreisumfang
Der Umfang eines Kreises ist π mal Durchmesser oder, gleichbedeutend, 2 mal π mal Radius. Genau so ist die Kreiszahl definiert: π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser und für jeden Kreis gleich, etwa 3,14159.
Sie können das selbst prüfen: Wickeln Sie einen Faden um eine Dose, messen Sie seine Länge und teilen Sie sie durch den Durchmesser der Dose. Heraus kommt immer ein Wert nahe 3,14. Auch der bayerische Lehrplan der 8. Klasse sieht vor, einen Näherungswert für π zum Beispiel durch Messen zu bestimmen.[1]
Durchmesser aus dem Umfang berechnen
Teilen Sie den Umfang durch π, dann erhalten Sie den Durchmesser: d = Uπ. Das ist praktisch bei allem, was sich schlecht quer messen lässt, aber gut mit einem Maßband umrunden: Baumstämme, Rohre, Säulen oder Fässer. Ein Stamm mit 157 cm Umfang hat rund 50 cm Durchmesser.
| Gemessener Umfang | Durchmesser | Radius |
|---|---|---|
| 0,5 m | 0,159 m | 0,08 m |
| 1 m | 0,318 m | 0,159 m |
| 1,5 m | 0,477 m | 0,239 m |
| 2 m | 0,637 m | 0,318 m |
| 3 m | 0,955 m | 0,477 m |
Umfang aus der Kreisfläche
Kennen Sie nur die Fläche, berechnen Sie zuerst den Radius r = √Aπ und daraus den Umfang. Zusammengefasst gilt U = 2 · √π · A. Ein Kreis mit 78,54 cm² hat 5 cm Radius und damit 31,42 cm Umfang. Den umgekehrten Weg von Radius zu Fläche geht der Rechner für die Kreisfläche.
Bogenlänge: ein Teil des Umfangs
Ein Kreisbogen ist so lang, wie es sein Winkel verlangt: Bei α = 60° sind das 60/360 = 1/6 des Umfangs. Die Formel lautet b = 2 · π · r · α / 360°. Mit dem Winkel im Bogenmaß wird sie noch kürzer: b = r · α.
Wer lieber mit Verhältnissen rechnet, nutzt den Dreisatz: 360° entsprechen dem ganzen Umfang, 1° einem 360stel davon. Anteile wie 1/6 oder 3/8 eines Kreises lassen sich mit dem Bruchrechner kürzen und umrechnen.
| Winkel α | Anteil am Umfang | Bogen bei r = 12 cm |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 | 6,28 cm |
| 45° | 1/8 | 9,42 cm |
| 60° | 1/6 | 12,57 cm |
| 90° | 1/4 | 18,85 cm |
| 180° | 1/2 | 37,7 cm |
Radumfang: wie oft sich ein Rad dreht
Ein Rad legt bei jeder Umdrehung seinen Umfang zurück. Die Zahl der Umdrehungen ist deshalb die Strecke geteilt durch den Radumfang. Ein Rad mit 28 Zoll Durchmesser (28 · 2,54 cm = 71,12 cm) hat einen Umfang von rund 223 cm und dreht sich auf einem Kilometer etwa 448-mal.
Die Zollangaben bei Fahrrädern sind Nennmaße. Genauer ist die Reifenbezeichnung auf der Flanke, etwa 37-622: 37 mm Reifenbreite auf einer Felge mit 622 mm Durchmesser, außen also rund 622 + 2 · 37 = 696 mm. Für einen Fahrradtacho zählt der gemessene Abrollumfang.
Beispiele mit Lösung
Beeteinfassung
Ein rundes Beet hat 3 m Durchmesser. Einfassung: π · 3 = 9,42 m. Mit etwas Verschnitt kaufen Sie 10 m.
Borte für eine runde Tischdecke
Durchmesser 1,40 m: π · 1,4 ≈ 4,40 m Borte.
Kurve einer Laufbahn
Eine Halbkreiskurve mit 36,5 m Radius ist π · 36,5 ≈ 114,67 m lang (α = 180°).
Rohr mit Maßband gemessen
Umfang 31,4 cm, also Durchmesser 31,4 / π ≈ 10 cm.
Typische Fehler beim Kreisumfang
- Radius und Durchmesser vertauscht. U = π · r ergibt nur den halben Umfang. Mit dem Radius gehört die 2 dazu.
- Umfang und Fläche verwechselt. Der Umfang ist eine Länge (cm), die Fläche eine Fläche (cm²) und wird mit r² berechnet.
- Bogen ohne Anteil. Für einen Viertelkreis zählt nur ein Viertel des Umfangs, nicht der ganze.
- π zu grob gerundet. Mit 3 statt 3,14159 liegt man fast 5 % daneben; bei großen Kreisen sind das schnell Meter.
Umfang und Flächeninhalt von Kreisen zu berechnen gehört zu den Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss.[2]
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?
Mit U = π · d oder U = 2 · π · r. Ein Kreis mit 5 cm Radius hat einen Umfang von 2 · π · 5 ≈ 31,42 cm.
Wie berechne ich den Durchmesser aus dem Umfang?
Teilen Sie den Umfang durch π: d = U / π. Bei 157 cm Umfang sind das rund 50 cm.
Was ist der Unterschied zwischen Umfang und Fläche eines Kreises?
Der Umfang ist die Länge des Randes (U = 2πr, in cm), die Fläche ist das, was der Rand einschließt (A = πr², in cm²).
Wie viele Umdrehungen macht ein Rad pro Kilometer?
100.000 cm geteilt durch den Radumfang in cm. Bei 223 cm Umfang (28 Zoll) sind das rund 448 Umdrehungen.
Was ist π?
Die Kreiszahl: das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, rund 3,14159. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.