Die p-q-Formel
Die p-q-Formel gibt die Lösungen jeder quadratischen Gleichung in Normalform an, also mit der Zahl 1 vor x2. Sie entsteht aus der quadratischen Ergänzung und wird im Lehrplan der 9. Klasse als Lösungsformel für quadratische Gleichungen eingeführt.[1]
- p ist die Zahl vor x, mit Vorzeichen. In x2 − 2x − 8 = 0 ist p = −2.
- q ist die Zahl ohne x, ebenfalls mit Vorzeichen: hier q = −8.
- Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D. Für das Beispiel: D = (−1)2 − (−8) = 1 + 8 = 9, die Wurzel ist 3.
- Die Lösungen: x1 = 1 + 3 = 4 und x2 = 1 − 3 = −2.
Normalform herstellen: aus ax² + bx + c wird x² + px + q
Steht vor x2 eine andere Zahl als 1, teilen Sie zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl. Aus 2x2 − 4x − 6 = 0 wird x2 − 2x − 3 = 0, also p = −2 und q = −3. Erst dann dürfen Sie die p-q-Formel anwenden. Der Rechner macht diesen Schritt im Modus „ax² + bx + c = 0“ automatisch und zeigt ihn im Rechenweg. Werden p oder q dabei zu Brüchen, hilft der Bruchrechner beim exakten Weiterrechnen.
Ist a = 0, gibt es kein x2 mehr: Die Gleichung ist linear und wird einfach nach x umgestellt.
Die Diskriminante entscheidet über die Anzahl der Lösungen
Eine quadratische Gleichung hat zwei, eine oder keine reelle Lösung, je nachdem ob die Diskriminante D = (p2)2 − q positiv, null oder negativ ist. Geometrisch sind die Lösungen die Nullstellen der Parabel y = x2 + px + q.
| Diskriminante | Lösungen | Beispiel |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei verschiedene Lösungen | x² − 2x − 8 = 0: D = 9, x = 4 oder x = −2 |
| D = 0 | genau eine (doppelte) Lösung | x² + 6x + 9 = 0: D = 0, x = −3 |
| D < 0 | keine reelle Lösung | x² + 2x + 5 = 0: D = −4 |
Probe mit dem Satz von Vieta
Ob die Lösungen stimmen, prüfen Sie am schnellsten mit dem Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen ist −p, ihr Produkt ist q. Im Beispiel: 4 + (−2) = 2 = −(−2) und 4 · (−2) = −8 = q. Daraus folgt auch die Zerlegung in Linearfaktoren: x2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2). Der Rechner zeigt beides und dazu den Scheitelpunkt der Parabel, S(−p/2 | q − p2/4).
p-q-Formel oder Mitternachtsformel?
Beide Formeln liefern dieselben Lösungen. Die Mitternachtsformel (abc-Formel) arbeitet direkt mit ax2 + bx + c = 0, die p-q-Formel braucht vorher die Normalform. Welche im Unterricht verwendet wird, hängt vom Bundesland und von der Schule ab.
| Sonderfall | Schneller Weg | Beispiel |
|---|---|---|
| q = 0 | x ausklammern | x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 oder x = 5 |
| p = 0 | Wurzel ziehen | x² − 9 = 0 → x = 3 oder x = −3 |
| Binomische Formel erkennbar | zusammenfassen | x² + 6x + 9 = (x + 3)² → x = −3 |
Beispiele mit Lösung
x² + 4x − 5 = 0
p = 4, q = −5: x = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also x₁ = 1, x₂ = −5. Probe: 1 · (−5) = −5 ✓
3x² − 12x + 12 = 0
Durch 3 teilen: x² − 4x + 4 = 0, D = 4 − 4 = 0, also x = 2 (doppelte Lösung).
Dreieck mit bekannter Fläche
Ein rechtwinkliges Dreieck hat 24 cm² Fläche, eine Kathete ist 2 cm länger als die andere: x(x + 2)/2 = 24, also x² + 2x − 48 = 0. Lösung x = −1 ± 7, sinnvoll ist nur x = 6 cm (die andere Kathete 8 cm). Zum Nachrechnen der Fläche: Flächeninhalt Dreieck berechnen.
Zinssatz aus zwei Jahren Wachstum
Ein Guthaben wächst in zwei Jahren mit Zinseszins um 21 %: (1 + i)² = 1,21. Mit x = 1 + i folgt x² − 1,21 = 0, x = 1,1, also i = 10 % pro Jahr. Für längere Laufzeiten gibt es den Zinseszinsrechner.
Typische Fehler bei der p-q-Formel
- Nicht normiert. Bei 2x² … muss erst durch 2 geteilt werden, sonst sind p und q falsch.
- Vorzeichen von p übersehen. In x² − 2x − 8 ist p = −2, also −p/2 = +1.
- Minus vor q vergessen. Unter der Wurzel steht (p/2)² − q. Mit q = −8 wird daraus + 8.
- (p/2)² falsch quadriert. (−1)² ist 1, nicht −1.
- Negative Diskriminante „wegrechnen“. Aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle Wurzel; die Gleichung hat dann keine reelle Lösung.
Quadratische Gleichungen und Funktionen gehören zu den Inhalten, die die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für den Mittleren Schulabschluss festlegen.[2]
Häufige Fragen
Wann benutzt man die p-q-Formel?
Für quadratische Gleichungen, die sich in die Form x² + px + q = 0 bringen lassen. Fehlt das Glied mit x oder die Zahl q, geht es mit Wurzelziehen oder Ausklammern schneller.
Was ist die Diskriminante?
Der Ausdruck unter der Wurzel, D = (p/2)² − q. Ist er positiv, gibt es zwei Lösungen, bei 0 eine, bei einem negativen Wert keine reelle Lösung.
Was ist der Unterschied zwischen p-q-Formel und Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) arbeitet direkt mit a, b und c. Die p-q-Formel setzt a = 1 voraus. Beide liefern dieselben Lösungen.
Was mache ich, wenn vor x² eine Zahl steht?
Teilen Sie die ganze Gleichung durch diese Zahl. Aus 2x² − 4x − 6 = 0 wird x² − 2x − 3 = 0, also p = −2 und q = −3.
Was bedeutet eine negative Zahl unter der Wurzel?
Dann schneidet die Parabel die x-Achse nicht, und die Gleichung hat keine Lösung in den reellen Zahlen. Lösungen gibt es nur noch als komplexe Zahlen.