Brüche addieren und subtrahieren: erst gleichnamig machen
Brüche lassen sich nur addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben. Dazu erweitern Sie beide auf den Hauptnenner, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner, und rechnen dann nur mit den Zählern. Der Nenner bleibt dabei stehen.
| Schritt | Rechnung für 3/4 + 5/6 |
|---|---|
| Hauptnenner suchen | Vielfache von 4: 4, 8, 12 … Vielfache von 6: 6, 12 … → kgV = 12 |
| Erweitern | 3/4 = 9/12 (mal 3), 5/6 = 10/12 (mal 2) |
| Zähler addieren | 9/12 + 10/12 = 19/12 |
| Kürzen und umwandeln | ggT(19; 12) = 1, also 19/12 = 1 7/12 |
Das Produkt der Nenner (hier 24) wäre auch ein gemeinsamer Nenner. Es führt zum selben Ergebnis, nur mit größeren Zahlen und mehr Kürzarbeit am Ende. Brüche, Dezimalzahlen und das Rechnen mit ihnen sind im Lehrplan Stoff der 6. Klasse.[1]
Brüche multiplizieren und dividieren
Beim Multiplizieren rechnen Sie Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, ein Hauptnenner ist nicht nötig. Beim Dividieren multiplizieren Sie mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs, also mit dem Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind.
Ganze Zahlen schreiben Sie als Bruch mit Nenner 1: 3 = 3/1. Gemischte Zahlen wandeln Sie vor dem Multiplizieren in unechte Brüche um, sonst geht der ganzzahlige Teil leicht verloren.
Brüche kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt haben. Bei 84/60 ist der ggT 12, also 84/60 = 7/5. Den ggT großer Zahlen findet der euklidische Algorithmus, den der Rechner im Modus „Kürzen“ Zeile für Zeile zeigt:
- 84 = 1 · 60 + 24
- 60 = 2 · 24 + 12
- 24 = 2 · 12 + 0 → der letzte Rest vor der 0 ist der ggT: 12
Kürzen ändert den Wert des Bruchs nicht, nur seine Darstellung. Erweitern ist die Umkehrung: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert.
Gemischte Zahlen und unechte Brüche
Eine gemischte Zahl wie 1 2/3 besteht aus Ganzen und einem echten Bruch. Als unechter Bruch: Ganze mal Nenner plus Zähler, also 1 · 3 + 2 = 5, ergibt 5/3. Umgekehrt teilen Sie den Zähler mit Rest durch den Nenner: 17 : 5 = 3 Rest 2, also 17/5 = 3 2/5.
Brüche und Dezimalzahlen umrechnen
Eine Dezimalzahl wird zum Bruch, indem Sie die Nachkommastellen über eine Zehnerpotenz schreiben und kürzen: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Umgekehrt teilen Sie den Zähler durch den Nenner. Endlich ist die Dezimalzahl nur, wenn der gekürzte Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat; sonst ist sie periodisch.
| Bruch | Dezimalzahl | Prozent |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/3 | 0,3 | 33,3 % |
| 2/3 | 0,6 | 66,7 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 1/6 | 0,16 | 16,7 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
| 1/10 | 0,1 | 10 % |
Für Anteile in Prozent gibt es den Prozentrechner, und Brüche stecken auch in vielen Formeln, etwa im Faktor ½ beim Flächeninhalt eines Dreiecks.
Beispiele mit Lösung
Pizza: 3/8 und 1/4 gegessen
3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8. Übrig sind 3/8 der Pizza.
Rezept: 2/3 von 1 1/2 Tassen
2/3 · 3/2 = 6/6 = 1 Tasse.
Wie viele 3/8-Liter-Gläser aus 1 1/2 Litern?
1 1/2 : 3/8 = 3/2 · 8/3 = 24/6 = 4 Gläser.
Kürzen: 45/60
ggT(45; 60) = 15, also 45/60 = 3/4.
Typische Fehler beim Bruchrechnen
- Nenner addieren. 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Richtig: 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Beim Dividieren den falschen Bruch umdrehen. Nur der zweite Bruch (der Teiler) wird durch seinen Kehrwert ersetzt.
- Aus Summen kürzen. In (2 + 3)/3 darf die 3 nicht gekürzt werden, nur Faktoren lassen sich kürzen.
- Gemischte Zahlen falsch multipliziert. 1 1/2 · 2 ist 3 und nicht 2 1/2. Erst in 3/2 umwandeln.
- Vorzeichen verloren. −3/4 ist dasselbe wie 3/(−4) und −(3/4); das Minus gehört vor den ganzen Bruch.
Mit Anteilen wird auch beim Dreisatz gerechnet. Die Bildungsstandards nennen das Verständnis des Bruchbegriffs als Teil eines oder mehrerer Ganzer und als relativen Anteil ausdrücklich als Ziel.[2]
Häufige Fragen
Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichem Nenner?
Erweitern Sie beide Brüche auf den Hauptnenner (das kgV der Nenner) und addieren Sie dann die Zähler. 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
Wie teilt man durch einen Bruch?
Multiplizieren Sie mit dem Kehrwert: 3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1 = 6/4 = 3/2.
Wie kürzt man einen Bruch vollständig?
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Bei 84/60 ist der ggT 12, das Ergebnis 7/5.
Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um?
Schreiben Sie die Ziffern nach dem Komma über 10, 100 oder 1000 und kürzen Sie: 0,75 = 75/100 = 3/4.
Was ist der Hauptnenner?
Der kleinste gemeinsame Nenner zweier oder mehrerer Brüche, also das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner. Für 4 und 6 ist er 12.