Formel: Grundseite mal Höhe durch zwei
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte von Grundseite mal Höhe. Die Höhe ist dabei der senkrechte Abstand der gegenüberliegenden Ecke zur Grundseite, nicht die Länge einer schrägen Seite. Im Lehrplan wird die Formel in der 6. Klasse durch Zerlegen und Ergänzen von Flächen hergeleitet.[1]
Warum durch 2? Ergänzt man das Dreieck zu einem Rechteck (oder Parallelogramm) mit derselben Grundseite und Höhe, ist dessen Fläche g · h, und das Dreieck füllt genau die Hälfte davon.
Jede Seite kann die Grundseite sein
Ein Dreieck hat drei Höhen, zu jeder Seite eine. Welche Seite Sie als Grundseite nehmen, ist egal, solange Sie die zugehörige Höhe verwenden: a · ha = b · hb = c · hc = 2A. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt die Höhe teilweise außerhalb; die Formel gilt trotzdem. Daraus folgt auch die Höhe aus einer bekannten Fläche: h = 2A / g.
Flächeninhalt aus drei Seiten: die Formel von Heron
Kennen Sie nur die drei Seitenlängen, berechnen Sie zuerst den halben Umfang s und setzen ihn in die Formel von Heron ein. Für die Seiten 13, 14 und 15 ist s = 21 und A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
Drei Längen ergeben nur dann ein Dreieck, wenn die längste kürzer ist als die beiden anderen zusammen (Dreiecksungleichung). Mit 1, 2 und 3 entsteht kein Dreieck, sondern eine Strecke; der Rechner meldet das.
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
Sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt, gilt A = ½ · a · b · sin γ. Mit a = 6 cm, b = 8 cm und γ = 30° ist sin 30° = 0,5 und A = 0,5 · 6 · 8 · 0,5 = 12 cm². Bei γ = 90° ist sin γ = 1, und die Formel wird zu a · b / 2, der Formel für das rechtwinklige Dreieck. Die dritte Seite liefert der Kosinussatz; Sinus- und Kosinussatz stehen im Lehrplan der 9. Klasse.[2]
Rechtwinkliges und gleichseitiges Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten senkrecht aufeinander; eine ist die Grundseite, die andere die Höhe. Die Fläche ist deshalb Kathete mal Kathete durch 2, die Hypotenuse folgt aus dem Satz des Pythagoras. Beim gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a ist die Höhe √3/2 · a, die Fläche √3/4 · a2.
| Bekannt | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Grundseite und Höhe | A = g · h / 2 | g = 8, h = 5 → A = 20 |
| Drei Seiten | Heron | 13, 14, 15 → A = 84 |
| Zwei Seiten, Winkel | A = ½ · a · b · sin γ | 6, 8, 30° → A = 12 |
| Rechtwinklig | A = a · b / 2 | 6 und 8 → A = 24, c = 10 |
| Gleichseitig | A = √3 / 4 · a² | a = 4 → A ≈ 6,93 |
Beispiele aus dem Alltag
Giebelwand streichen
Ein Giebel ist 8 m breit und 3 m hoch: 8 · 3 / 2 = 12 m². Für die übrige Wand rechnet der Quadratmeter-Rechner die Rechteckflächen dazu.
Dreieckiges Grundstück mit Maßband
Seiten 30 m, 40 m und 50 m: s = 60, A = √(60 · 30 · 20 · 10) = √360.000 = 600 m². Die Seiten erfüllen 30² + 40² = 50², das Grundstück ist also rechtwinklig: 30 · 40 / 2 = 600 ✓.
Unbekannte Kathete
Ein rechtwinkliges Dreieck hat 24 cm², eine Kathete ist 2 cm länger als die andere: x(x + 2)/2 = 24. Die quadratische Gleichung x² + 2x − 48 = 0 löst die p-q-Formel: x = 6 cm.
Ein Dreieck ist auch die Grundfläche eines dreiseitigen Prismas: Fläche mal Höhe des Körpers ergibt sein Volumen.
Typische Fehler beim Flächeninhalt eines Dreiecks
- Schräge Seite statt Höhe. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite. Eine schräge Seite ist immer länger und liefert zu viel Fläche.
- Durch 2 vergessen. g · h allein ist die Fläche des Rechtecks, also doppelt so viel.
- Höhe zur falschen Seite. ha gehört zur Seite a; mit der Seite b multipliziert ergibt sie Unsinn.
- Taschenrechner im Bogenmaß. sin 30 im Modus RAD ist −0,988, nicht 0,5. Für Winkel in Grad muss DEG eingestellt sein.
- Einheiten gemischt. Seiten in cm und m vor dem Rechnen auf eine Einheit bringen; das Ergebnis ist eine Fläche in cm² oder m².
Flächeninhalt und Umfang von Dreiecken und daraus zusammengesetzten Figuren zu berechnen, ist Teil der Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss.[3]
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks?
Grundseite mal Höhe geteilt durch 2: A = g · h / 2. Bei g = 8 cm und h = 5 cm sind das 20 cm².
Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks ohne Höhe?
Mit drei Seiten über die Formel von Heron, mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel über A = ½ · a · b · sin γ.
Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks?
Aus der Fläche: h = 2 · A / g. Ist die Fläche unbekannt, berechnen Sie sie zuerst mit Heron aus den drei Seiten.
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks?
Kathete mal Kathete durch 2. Mit den Katheten 6 cm und 8 cm: 6 · 8 / 2 = 24 cm².
Warum teilt man beim Dreieck durch 2?
Weil jedes Dreieck genau halb so groß ist wie das Rechteck (oder Parallelogramm) mit derselben Grundseite und Höhe.
Quellen
- LehrplanPLUS Gymnasium Bayern, Fachlehrplan Mathematik, Jahrgangsstufe 6 (Bruchzahlen, Flächeninhalt von Dreiecken, Prozentrechnung)
- LehrplanPLUS Gymnasium Bayern, Fachlehrplan Mathematik, Jahrgangsstufe 9 (quadratische Gleichungen und Lösungsformel, Satz des Pythagoras, Sinus- und Kosinussatz)
- Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Ersten Schulabschluss (ESA) und den Mittleren Schulabschluss (MSA)